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、课程目标

,进而体会数学知识的源远流长的发展之美 。

2. 了解数学中的对称之美,进而关注生活中的对称及不对称的美的区别和联系。

,从数学中的数字进而欣赏数学的数字的奇妙之美
。

,激发学生创造的热情。

5. 欣赏点评数学的趣味之美,从而激发学生学****数学的兴趣.

二
、编写原则

,根据《高中数学新课程标准编写》

“观察 ”与“思考写
”的功能,达到全面提高学生数学素养的目的 。通过《数学与美学》的学****充分了解数学课程之外的数学美,注重数学常识的积累,学会选择适合自己的学****方法,提高学生的兴趣,以“观察”促“思考 ”,全面提高数学能力
。

3. 《数学与美学》这一课程,最大亮点就是提高学生学****数学的兴趣和信心。这些人都是学生熟悉的或者曾经熟悉的,让同学们明白数学的发表和数字的趣味,了解数学与生活的关系,学会观察,学会积累,学会归纳,学会其中的思想方法,搭起数学与生活之间的桥梁 。

1.《数学与美学》课程共安排18课时,2个学分
。属于知识拓展类选修课。

第一部分数学发展史之美

第一节河谷晨曦-数学的起源与早期发展

第二节喷薄出海—古希腊数学

第三节日照东方—古代与中世纪的东方数学

第四节冲破黑暗—文艺复兴与近代数学的兴起

第五节数学发展史之———尼罗河文明

第六节数学史上的三次危机

第二部分神奇的数字之美

第一节从数字赏数学之美(1)数的发展

第二节从数字赏数学之美(2)简约美

第三节从数字赏数学之美(3)几个问题

第四节从数字赏数学之美(4)对称美

第五节从数字赏数学之美(5)对称美应用

第六节从数字赏数学之美(6)三角函数之美

第三部分数学中的趣味美

第一节数学家的一些趣味故事

第二节数学各种数的趣味美

第三节数学题目的趣味美

第四节股市中的数学趣味美

第五节生活中的数学趣味美

第六节动植物中的数学趣味美

四、课程实施

数学之美

庞加莱曾经说过：能够做出数学发现的人
，是具有感受数学中的秩序 、和谐
、对称、整齐和什么美感的人 。

在数的海洋里，总有些规律令人沉迷
。

坚“整
”不渝

雅克布·伯努利是瑞士著名的数学家 ，他的主要发现有对数螺线。

对数螺线是一根无止尽的螺线
，它永远向着极绕，越绕越靠近极 ，但又永远不能到达极 。据说
，使用最精密的仪器也看不到一根完全的对数螺线，这种图形只存在数学家的假想中
。也许正是这神奇的形状 ，让苏格兰博物学家和数学家汤普森语出惊人：地球上所有动物和植物只有通过数学才能理解！

对数螺线在自然界中最为普遍存在
，以后若去动物园可瞧仔细了：象鼻 、羊角
、鹦鹉的爪子等也都是成等角螺线形的。圆网蛛能织出这种曲线，许许多多贝壳动物身上都有这种曲线 。鹰以对数螺线的方式接近它们的猎物；昆虫以对数螺线的方式接近光源；用天文望远镜观察到的星云中也有螺线形状的！

难怪法布尔会惊叹：“几何 ，以及面积上的和谐
，支配着一切。几何存在于松果鳞片的布置中，也存在与圆网蛛的黏胶丝上；蜗牛的螺旋上升斜线里有几何 ，蜘蛛网的念珠里有几何，行星轨道里也有几何；几何到处存在
，不管在原子世界里还是在无限辽阔的宇宙中，几何都是非常高明的！”

伯努利对这些有趣的性质惊叹不止 ，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上
，并附词“纵使改变，依然故我 ”(eadem mutata resurgo)
。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。

除了这些不变之外 ，伯努利还发现了一个不变的规律 。伯努利对自然数乘方和的公式应用十分自如
，在研究过程中，他曾经发现下面的问题：

无论n为何自然数 ，式子

总是整数！

在我们的印象中
，数学家们都是无所不能的，他们睿智、冷静又富有逻辑性 ，好像没有瑕疵
。

可是每个人都会有苦恼
，伽利略就是其中一位。

我们知道，完全平方数在自然数中是沧海之一粟 ，我们看下面的对应关系

1， 2
， 3， 4 ， 5……n

1
， 4， 9 ， 16
， 25， n^2

上面的对应关系又表示自然数与完全平方数是一一对应的 ，是一样多的 。这就是伽利略的困惑
，他提出了前人没有提出过的比较无穷大小的问题，揭开了人们认识“无穷”的序幕
。

随着社会的迅猛发展 ，经济水平不断提高
，人们生活质量越来越好。但与此同时带来的是人们对于资本的渴求的膨胀，人们越来越注重实际利益 ，注重实业重工的发展，相对而言
，理论上的一些研究就理所当然的被视作一种无用之学科 。首当其冲的便是数学，在中国 ，几乎所有人都认为在大学里学纯数学将来是没有什么前途的
，事实上，在西方发达国家并非如此
。在哲人的眼里 ，数学是如此美丽
，它巧夺天工，不可言喻。保罗?埃尔德什形容他对数学的观点：“为何数字美丽呢？这就像在问贝多芬第九交响曲为什么会美丽一般 。若你不知道为什么 ，其他人也没办法告诉你为什么
。我知道数字是美丽的
，且若它们不美丽的话，世上也没有事物会是美丽的了。
”

一 、数学之美所谓何然

数学美是自然美的客观反映 。历史上曾有多位学者名人对数学美提出自己的见解 ，我国著名数学家华罗庚说过：“就数学本身而言
，是壮丽多彩
、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性 ，而没有体会出数学的内在美。”数学家徐利治说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点
，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，既所谓数学美
。数学美的含义是丰富的 ，如数学概念的简单性 、统一性
，结构关系的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性
、典型性和普遍性 ，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。 ” 随着数学的发展和人类文明的进步
，数学美的概念会有所发展，分类也不相同 ，但它的基本内容是相对稳定的
，这就是：对称美、简洁美 、统一美和奇异美 。

数学的对称美，从古希腊时代起就被认为是数学美的一个基本内容
。所谓对称性 ，既指组成某一事物或对象的两个部分的对等性。数学中的这种对称处处可见
，较为形象的就是我们司空见惯的一些轴对称图形，尤其是圆 ，真可谓是三百六十度完全对称无死角 。毕达哥拉斯就曾说过：“一切平面图形中最美的是圆，在一切立体图形中最美的是球形
。
”这正是基于这两种形体在各个方向上都是对称的。而对于我来说
，关于对称印象最深刻的便是小学五年级的时候老师让我做的一道数学题 。当时老师在报纸上看到这道题，就拿给同办公室的几个老师做 ，结果居然那几个老师都没有做出来
，于是老师就把我叫到办公室去当场做，看小孩子的思维会不会活跃一些 ，题目是一个四位数乘以九得到的数等于这个数的倒序
。我当时一看这题目
，心想既然是对称的，那么第一个数字必是1 ，然后乘以九
，那么最后一个数字必是9，接着我又想第二个数字最大是1但一代进去显然不行 ，那么就只能是0了
，这么一来就轻而易举地猜出第三个数字是8，所以答案就是1089*9=9801.我记得自己当时是很快就把答案想出来了 ，老师们都很诧异，连连夸奖。当时心里真的是特别高兴
，也是第一次对数字的对称性有了基本的概念 。现在想想那道题其实真的很简单，但就是这么简单的数学题里也蕴含着数学那高度的对称美
。

数学的简洁美 ，是人类思想表达简明化要求的反映。爱因斯坦说过：“美在本质上终究是简单性 。” 数学语言本身就是最简洁的文字
，同时反映客观规律极其深刻，许多复杂的客观现象 ，总结为一定的规律时
，往往呈现为十分简单的公式。欧拉给出的公式：V－E+F=2，堪称“简单美 ”的典范
。世间的多面体有多少没有人能说清楚。但它们的顶点数V
、棱数E、面数F ，都必须服从欧拉给出的公式
，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性 ，令人惊叹不已 。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着
”
。如笛卡尔坐标系的引入。对数符号的使用
，复数单位的引入 。微积分的出现都体现了数学外在形式更简洁，内容更深厚
。数学中绝大部分公式都体现了“形式的简洁性 ，内容的丰富性”。 数学的简洁美还表现在形态上，即数学美的外部表现形态
，是数学定理和数学公式(或表达式)的外在结构中呈现出来的美 。形态美的主要特征，在于它的简单性
。

数学的统一美 ，是审美对象在形式或内容上的某种共同性 、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。一切客观事物都是相互联系的
，因而,作为反映客观事物的数学概念
、数学定理、数学公式 、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中 。例如,从结构上分析 ，解析法
、三角法、复数法 、向量法和图解等具体方法,都可以统一于数形结合法
。欧几里德的《几何原本》,把一些空间性质简化为点
、线、面 、体几个抽象概念和五条公设及五条公理,并由此导致出一套雅致的演绎理论体系,显示出高度的统一性。布尔基学派的《数学原本》,用结构的思想和语言来重新整理各个数学分支,在本质上揭示数学的内在联系,使之成为一个有机整体,在数学的高度统一性上给人以美的启迪 。

二、数学之美所以何能

数学之美在各位先知哲人的眼里是如此的美丽
，那么数学是凭着什么从几个简单的阿拉伯数字和拉丁字母发展为如此瑰丽传奇的数学世界的呢？仅凭个人的力量显然是远远不够的，它是数千年来祖辈们世世代代传承积累下来的。

数学之美是人民之于数学的智慧结晶
。人们在日常的生活中总会遇到一些需要用数学来解决的小问题 ，然后就有人提出一个改进的小方法
，让计算变得更为容易，这样日积月累 ，慢慢地便使得数学的土壤越来越肥沃
，培育出更多的数学芬芳之果，让数学这个世界越变越丰富 ，越变越美丽。我不是数学考古专家，不能调研到什么具体的人民对于数学方面的小改进 。但是我可以讲讲自己的例子
。身边的人都知道我的速算是很厉害的
，倒不是我有多聪明，而是我会把一些难算的式子在脑子里做一些的变换然后再计算 ，这样就容易多了
，就我个人而言，这改进虽然很小 ，或者都称不上是改进
，但是就是因为人民大众这样一点一滴的积累，使得数学越来越美。

数学之美是智者之于数学的灵感源泉 。我国数学家陈景润身居陋室 ，但为了攻破歌德巴赫猜想这一世界数学难题
，不断演算，通过努力终于摘取了数学皇冠上的明珠
。接下来我讲一个蒲丰用投针求圆周率的近似值的试验。有一天蒲丰邀请许多宾朋来家做了一个奇特的实验 。他事先在白纸上画好了一条条有等距离的平行线 ，将纸铺在桌上
，又拿出一些质量匀称长度为平行线间距离之半的小针，请客人把针一根根随便仍到纸上 ，蒲丰则在一旁计数，结果共投2212次
，其中与任意平行线相交的有704次，蒲丰又做了一简单的除法 ，然后他宣布这就是圆周率的近似值
，还说投的次数越多越精确
。这个实验使人震惊，圆周率和一个表面看来毫不相干的随便投针实验沟通在一起。然而 ，这确实是有理论根据的 。计算圆周率的这一方法新颖
、奇妙而让人叫绝
。

数学之美是社会之于数学的发展需要。我们面临一个科学技术迅猛发展的时代 。信息的数字化和信息的数学处理已经成为几乎所 有高科技项目共同的核心技术。从事先设计、制定方案
，到试验探索 、不断改进，到指挥控制
、具体 操作 ，处处倚重于数学技术
。许多国家认识到
，发展高清晰度电视是未来经济技术竞争的主战场之一。应该指出，电视屏幕不仅是现代人们日常生活所不可缺少的 ，而且可能通过联网成为信息传 递处理的工作面 。几乎所有重要的工作岗位都将与之有关
。数学技术在如此重要项目的激烈较量 中起了决定作用。1991年的海湾战争是一场现代高科技战争
，其核心技术竟然也是数学技术 。这一事实引 起人们不小的惊讶
。美国总结海湾战争经验得出结论是：“未来的战场是数字化的战争 ”。

二、数学之美所知何用

现如今，越来越多的大学生在填大学专业方向时 ，都不愿填写数学这个专业，理由是毕业后工作不好找 。我自己也是
，其实我个人是非常热爱数学的，我可以一天不吃不喝在那边做一道数学题并且乐在其中
。但是最终还是迫于家庭和社会各方面压力选择了大家普遍认为将来就业可能比较好的电子专业 ，虽然我自己不是很喜欢
，但是既来之，则安之。然而 ，在此我还是要说学习数学是有用的
，而且是非常地有用，未来的社会必是数字化的时代 。

数学之美的社会应用——揭示自然规律 ，指导工程设计
。1995年1月
，在贩神大地震之后，美国利用数学模型进行地震预测 ，预告本世纪末加州南部可能发生大地震；1995年3月
，我国中央人民广播电视台宣布启用数字式转播方式，指出以前的模拟式转播方式效果差 ，所以改用新的转播方式；1995年6月，欧州联盟开会研讨未来数字化通信的统一制式；1996年2月
，我国电子工业部宣布“九五计划
”开发重点：数字化信息技术。所订的两个重点研制项目是：数字式高清晰度电视接受机样机和数字式激光盘；1996年4月，我国国家科委发布招标公告 ，正式宣布数字式高清晰度电视开发项目 。仅以几件事为例就能清楚地看到数学对当代人们的生产和生活所起的重要作用。

数学之美的突出表现——黄金比例分割
。黄金分割又称黄金律
，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二 ，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比
，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字 。采用这一比值能够引起人们的美感 ，在实际生活中的应用也非常广泛
，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央 ，而是偏在台上一侧
，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好
。就连植物界也有采用黄金分割的地方 ，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中
，选取方案常用一种0.618法，即优选法 ，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件 。正因为它在建筑 、文艺
、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用
，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"
。

伯特兰?罗素以下列文字来形容他对数学之美的感觉：数学，如果正确地看它 ，则具有……至高无上的美——正像雕刻的美
，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面 ，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰
，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神 ，一种精神上的亢奋
，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到 ，也能够在数学里得到 。

参考文献：

（1）（美）西奥妮?帕帕斯 . 理性的乐章--从名言中感受数学之美. 王幼军 译. 上海：上海科技教育出版社，2010.

（2）（英）波斯特 . 数学证明之美 . 贺俊杰
，铁红玲 译 . 湖南：湖南科技出版社，2012

（3）（美）克利福德?A?皮科夫 . 马东玺 译 . 湖南：湖南科学技术出版社 ，2010

（4）吴军 . 数学之美系列文章 . 2006——2007.

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